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重學數學07天（含金量有億點高，對數函數的由來和建模形式）

感想：當用建模的方式學數學的時候，數學成了一種可以被發明的東西，變得迷人起來，世界被拆分成了可以被量化並復現的結構，一切變得可以被理解，如此多精美巧妙的設計呈現紛繁複雜的世界，讓真實的世界出現了一絲不真實，身處的真實世界是虛擬的嗎？

複習：H（1，α）與V（1，α）的建模內容

今日目標：

  1. 泰勒級數的推導猜想
  2. 指數函數的來源和推導
  3. e的來源和值的推導
  4. 對數函數log的來源

5，對ln （x）的求導計算

A，23,泰勒級數模型

已知：

並且根據06天的結論，得:

問題：sinα與cosα具體的表達式？

假設有一個無窮指數無窮項的表達式如下

  1. 求N0的值

令

原因：沒有更好的辦法在如此多未知量的情況下準確求得第一項未知數的值，只有強行設定

  1. 求N1的值

令

採用與求N0值相同的方法

  1. 求N2的值

令

沿著相同的方法

  1. 在維持n未知的情況下，求出Nn即可

  1. 將sum (x)改寫

也就是說，得到一個Sum（x）加乘展開模型，可以對任意函數（目前為止遇到的）進行表達式的展開，前提是在x=0處，sum（0）能夠n階可導

6，求得cosα與sinα的表達式

已知

得

已知sin （x）在0點處可以無限階地求導，正好滿足Sum（X）函數的特性。

已知：

針對sin（x）在偶數階導數值皆為0，所以可以用Sum（x）取代sin（x）的表達

同理

總結：

此模型可以對那些能夠在0處n階求導的函數進行值逼近

B，24，四種特殊函數模型

出於美學動機，猜想4種函數模型的表達式

1，研究f(n+m)=f(n)+f(m)的表達式

2，研究f(n+m)=f(n)*f(m)的表達式

3，研究f(n*m)=f(n)+f(m)的表達式（ log函數的由來）

其實，g函數就是log函數

基於上述3個推演出來的性質，不再需要對所有型如g(x*y)=g(x)+g(y)的函數進行討論了，因為所有的g函數都可以通過某一個g函數透過性質3轉換而來，基於審美，選先前討論的Extremely-key e，導函數就是本身，即


總結g（x*y）=g(x)+g(y)已經得到的性質

問題1：如何對ln(x)函數求導？

問題2：如何求出ln(x)的值？

4，研究f(m*n)=f(n)*f(m)的表達式



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